سنتناول في هذا البحث معادله من الدرجة الأولى من الرتبه الثانية بمعاملات متغيرة تسمى بمعادلة بيسل وسنبين ان حلها ينتج دوال خاصه تعرف بدوال بيسل وهي أنواع هناك دالة بيسل من النوع الأول ويرمز لها بالرمز ??(?) ودالة بيسل من النوع الثانى وتعرف أيضا بدالة نيومان ويرمز لها بالرمز ??(?) أو ??(?)كذلك سنتعرف على دوال بيسل من النوع الثالث وتعرف بدوال هانكل ويرمز لهم بالرمز ??(?) كذلك سنتناول معادلة بيسل المعدلة و نوضح شكل حلها كما سنتعرف على متسلسلات بيسل فورييه و نبين كيفية إيجاد معاملاتها حيث ستستخدم في تركيب الحل الناتج بإستخدام طريقة فصل المتغيرات لمسائل القيم الحديه و سيستخدم تحويل هانكل وخصائصه العملية في عدة تطبيقات متعلقة بمسائل القيم الحديه ثم سنوسع هذا المفهوم في الاحداثيات الكروية بإستخدام تحويل هانكل الكروي المنتهى و متسلسلات بيسل فورييه المعدلة في تطبيق هذا التحويل لمسالة قيمه حديه تتعلق بإيجاد الحرارة لجسم كروي وهذا موضوع بحث صدرفي مجلة الرياضيات التربوية للعلوم والتكنولوجيا بتاريخ 1982 بعنوان )متسلسلات بيسل فورييه المعدلة وتحويل هانكل الكروي المنتهي للمؤلف (Isaac I.H.CHEN) Abstract In this research, we discuss Bessel, s differential equation which is a second order linear differential equation with variable coefficient, and of first degree. The solutions of this equation are known as Bessel functions. Different kinds of Bessel functions are presented. bessel functions of the first kind of order ? denoted by ??(?), bessel functions of the second kind also known as newman functions denoted by ??(?) or ??(?), and bessel functions of the third kind known as hankel functions and denoted by ??(?). Modified Bessel equation is solved with illustrutions to its solutions. Fourier Bessel series and how to compute their coefficients are shown. A separate treatment of hankel transform with its properties and applications in solving boundary value problems together with the finite hankel spherical transform is given in this thes is . A boundary value problem to determine the temperature field in a spherical body using the modified fourier bessel series combined with the finite spherical hankel transform was the subject of a research paper entitled (Modified Fourier‐Bessel series and finite spherical Hankel Transform), by Isaac I. H. Chen, appeared in the International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 1982.
مني شعبان سالم عكريم (2015)

أعداد كاتالان هي متتالية من الأعداد الطبيعية سميت نسبة إلي العالم البلجيكي يوجين شارلز كاتالان، وتدخل في حل العديد من مسائل العد مثل عدد تقسيمات مضلع محدب إلى مثلثات، عدد القمم الجبلية التي يمكن تشكيلها باستخدام n زوج من القطع المستقيمة الصاعدة والهابطة بعض المسارات الشبكة من نقطة الاصل إلي النقط ( (n,nبالإضافة إلي بعض التطبيقات في جبر المصفوفات والزمر. تهدف هذه الدراسة إلي تسليط الضوء علي بعض خواص أعداد كاتالان وتطبيقاتها في مسائل رياضية مختلفة، بالاضافة إلي دراسة لأعداد كاتالان المعممة ومثلث كاتالانالتطبيقات في التطبيقات في جبر المصفوفات والزمر Abstract Catalan numbers are a sequence of natural numbers named after the BelgianEugene Charles Catalan mathematician(1814-1894),they enumerate a lot of classes of combinatorial objects, for example the partitionings of a convex polygon, the mountain ranges that can be drawn with n upstrokes and n down strokes, some integral lattice paths and some problems in groups and matrices.The aim o this study is to highlight some properties, some applications of Catalan numbers, the generalized Catalan numbers and Catalan triangle.
اية فريد جرناز (2016)

الملخص أظهرت النتائج الشهرية باستخدام أقماع بيرليزي وجود اختلافات في الكثافة العددية للحيوانات الدقيقة المرتبطة بأشجار الأيوكالبتوس أو الكافور Eucalyptus camaldulensis والصنوبر Pinus halepensis والعوامل المناخية في غابة النصر بطرابلس لإجمالي 021 عينة من نثار الأوراق لسنة 2112 . بلغ إجمالي الكثافة العددية للحيوانات الدقيقة السنوية 002.111 فردًا / 01 cm / m من نثار الأوراق. أوضحت النتائج أن الكثافة العددية للكوليمبولا كان فعالاً في تفكك ³ وتكسير نثار الأوراق، والحلم كمفترسات، والفطريات والبكتيريا لتحلل نثار الأوراق. تم تقسيم الدراسة إلى فترتين. ) 0( مايو - 2، والكوليمبولا 2.، والحيوانات الدقيقة الأخرى 011 فرد/ .. أكتوبر، أظهرت أن متوسط وفرة الحلم كان 2 01 cm / m ³ من نثار الأوراق على التوالي. ) 2( نوفمبر- أبريل، أظهرت أن متوسط وفرة الحلم كان 21 ، والكوليمبولا 135 ، ومجموعة الحيوانات الدقيقة الأخرى 011 فرداً / 15 cm / m نثار الأوراق على التوالي. أوضحت الدراسة وجود فروق ذات دلالة ³ معنوية عند المستوى 1.110 وفي اختبار Duncan عند المستوى 1.110 بين شهر يناير والأشهر الأخرى. تم عرض جميع البيانات البيولوجية والكيميائية والفيزيائية المؤثرة على التنوع البيولوجي لمفصليات الأرجل ونثار أوراق الكافور والصنوبر في غابة النصر بطرابلس. توصي الدراسة بالنظر في أهمية تعريف وتصنيف والتنوع البيولوجي للحيوانات الدقيقة والعوامل المختلفة المرتبطة بنثار الأوراق كمؤشرات بيئية مهمة واستدامة النظام البيئي للغابات في ليبيا.
هدي مصطفي عمر الشبة , نوال عبد السلام محفوظ(12-2021)