المعادلات التفاضلية الكلاسيكية لهيرميت ولجاندر وتشيبي شيف مشهورة بحلولهم المتعددة الحدود تلك الحدوديات تساهم في حلول بعض المسائل في الرياضيات التطبيقية والفيزياء والهندسة .وحيث أن تلك المعادلات من الرتبة الثانية فإن لكل منها أيضاً حل ثاني مستقل خطيا ليس متعددة حدود هذه الحلول غالباً لا نستطيع وضعها في صورة دوال أولية بمفردها في هذا البحث سوف ندرس المعادلات الكلاسيكية لهيرميت ولجاندر وتشيبي شيف عندما يكون لهاالحد() على الطرف الأيمن والذي يعرف أحياناً بالحد المُجْبِر في المعادلة وسوف نثبت بأنه لكل معادلة وباختيار شرط ابتدائي محدد يكون ضروري وكافي نضمن الحل المتعدد الحدود . عندما يكون هذا الشرط الأبتدائي محدد فإن الشكل التام المضبوط للحل في صورة متعددات حدود يكون موجوداً. Abstract The classical differential equations of Hermite, Legendre, and Chebyshev are well known for their polynomial solutions. These polynomials occur in the solutions to numerous problems in applied mathematics, physics and engineering. However, since these equations are of second order, they also have second linearly independent solutions that are not polynomials. These solutions usually cannot be expressed in terms of elementary functions alone. In this thesis, the classical differential equations of Hermite, Legendre, and Chebyshev are studied when they have a forcing term on the right-hand side. It was shown that for each equation, choosing a certain initial condition is a necessary and sufficient condition for ensuring a polynomial solution. Once this initial condition is determined, the exact form of the polynomial solution is presented.
نجاة علي أحمد الجلالي (2014)

لتكن G زمرة غير منتهية ولأي مرشح F معطى على G في هذه الرسالة سوف نصف أقوى تبولوجيا يسارية غير متغيرة بحيث أن المرشح F متقارب إلى العنصر المحايد للزمرة G. وسوف ندرس التبولوجيا عندما F يحتوي مرشح فريشيت (filter) ويوجد راس بحيث أن كل المجموعات الجزئية xM(x) حيث تكون منفصلة ثنائيا وسوف نبين أن تمتلك خواص متطرفة وأخيرا سوف نأخذ في الاعتبار الحالة عندما تكون تبولوجيا زمرية. Abstract Let G be an infinite group. Given any filter F on Gwe will describe the strongest left invariant topology in which F converges to the identity of the group G we study the topology in the case when F contains the filter and there is a map such that all the subsets xM(x), where are pairwise disjoint, we show that possesses an interesting extremal properties. Finally we consider when can be a group topology.
أمل عوض العلول (2009)

في هذا البحث نقدم بعض طرق التناظر مع تطبيقاتها لإيجاد الحل لبعض المعادلات التفاضلية العادية. هذه الطرق تعرف ب: تناظر ليّ (Lie) وتناظر سندمان (Sundman)كلتا الطريقتين تزودنا بأداة قوية لتوليد التحويلات التي يمكن أن تستخدم لتحويل المعادلة التفاضلية المعطاة إلى معادلة أبسط مع المحافظة على الثبات (اللاتغير) للمعادلة الأصلية. في الباب الأول والثاني نقدم بعض التعريفات والمفاهيم الأساسية التي سنستخدمها في الفصول القادمة من البحث. أما في الباب الثالث سوف نقدم طريقة تناظر ليّ مع بعض المفاهيم والنظريات الأساسية لتحويلات ليّ ثم نقدم تطبيقات مجموعات التحويلات النقطية ل ليّ لإيجاد الحل العام أو الخاص للمعادلات التفاضلية العادية.وأخيراً في الباب الرابع سوف نستعرض طريقة تناظر سندمان للمعادلات التفاضلية العادية اللاخطية وسنرى أن تناظر سندمان يستخدم بنجاح لتحويل التكاملات الأولية (First Integrals) إلى تكاملات أولية جديدة والتي يمكن أن تقودنا إلى الحل العام للمعادلة المناظرة وكذلك لتحويل الحل الخاص للمعادلة إلى الحل العام لها. Abstract In this thesis we introduce some symmetry methods with it’s applications to find solutions for some ordinary differential equations.These methods are known as Lie and Sundman Symmetries, both methods provide a powerful tool for the generation of transformations that can be used to transform the given differential equation to a simpler equation while preserving the invariance of the original equation. In chapter One and Two, we introduce some definitions and basic concepts which will be needed in the following chapters of the thesis. In chapter Three, we introduce method of Lie symmetry with some basic concept and theorem for Lie transformations, then we give applications of Lie groups of transformation to obtain particular or general solutions for ordinary differential equations. Finally, in chapter Four, we investigate the Sundman symmetries of nonlinear ordinary differential equations, and we will show that these transformations and symmetries can successfully be applied to transform first integrals to the new first integrals which may lead to the general solution of the corresponding equation, also map special solutions to general solutions.
نيفين زكي محمد أبو قورة (2009)