في منتصف القرن الثامن عشر قدم العالم السويسري ليونارد أويلر ((1787-1707 الحل للمعادلة حيث وسع حقل الاعداد الحقيقية إلى حقل جديد يكون فيه للمعادلة السابقة حل وهو ماسمي فيما بعد بحقل الأعداد المركبة, حيث صاغ أويلر العدد المركب على الصورة ولكن صيغة أويلر تطرح بعض الاسئلة المنطقية عن إشارة في صورة العدد المركب قبل تعريف عملية جمع الأعداد المركبة, إلى أن جاء العالم الايرلندي- بعد حوالى قرن من الزمان- ويليام رون هاملتون ( (1865-1805عرف جبر الاعداد المركبة على أنه مع عملية الجمع المعتادة والضرب المركب وكان لهذا الجبر نتائج هامة ضمنها تعريف الدوال الاسية والمثلثية بحيث تكون تعميم لنظائرها في التحليل الحقيقي.في هذا البحث نحاول تعميم الدوال الاسية والمثلثية في متغيرين في أنظمة جبرية غير الأعداد المركبة وندرس كيف أن هذا التعريف يعتمد على تعريف عمليات الضرب (الدوال ثنائية الخطية) على كما سنثبت أن هذه الدوال لها الخواص الأسية والمثلثية المشهورة مثل : ثم نتعرض لكيفية تعريف الاشتقاق , ,, بحيث نجد مشتقاتها تتوافق مع التصورات السابقة مثل: وسوف يتبين في هذه الدراسة أن هذا التعميم ينطبق , على الدوال الاولية المركبة كحالة خاصة. Abstract In the eighteen century the Swiss mathematician Leonard Euler introduced the solution of the equation , by that he extended the field of real numbers to the new one which make the above equation possible to solve, that field is called later the field of complex numbers. Euler wrote a complex number in the form. But Euler's notation raises logical questions about the + in the notation. A quite satisfactory definition of complex numbers is due the Irish mathematician William Rowan Hamilton. According to Hamilton the algebra of complex numbers, C is defined aswith the usual operations. That algebra has many important results includes the definition of the exponential and trigonometric functions to be generalization to its analog in the real analysis. In this thes is we try to extend the definitions of the exponential and trigonometric functions in two variables to include algebras distinct from the complex numbers and we study how this definition depends on the definition of multiplication (bilinear functions) on, and we well show that the functions have the same familiar exponential and trigonometric properties as , , , And we will present the definition of differentiation such that we find derivatives compatible with previous visions such as , And we try to prove this generalization compatible with the complex elementary functions as a special case.
محمد ابو القاسم ابو عجيلة (2010)

في البحث قمنا بدراسة نوع من الهندسة اللاقليدية وتسمى هندسة ريمن أو كما تسمى بالهندسة الناقصة مع تطبيقاتها في عديد المجالات ، و أساس هذه الهندسة عدم وجود توازي بين المستقيمات في السطوح الكروية ،و تقر هذه الهندسة بتقاطع المستقيمات فقط وهو نقد للمسلمة الخامسة بالذات في هندسة اقليديس ففي الفصل الأول وضعنا تمهيدا لعدة موضوعات واجهتنا بحيث غطى إلى حد ما هذه المسلمات و المفاهيم الأخرى من خلال النظريات و النتائج التي قمنا بدراستها و التي تتعامل مع السطح الكروي وهذا يعتبر نموذج مثالي لهندسة ريمن.وفى الفصول الأخيرة قمنا بدراسة المثلث الكروي العام و حل جميع المثلثات الكروية الأخرى التي لها علاقة وطيدة بهندسة ريمن و ذلك بتطبيق قاعدتي نابير وهفرساين.واستخدمنا طرق عديدة لحل المثلث الارضى الذي يعتبر من أهم التطبيقات لهذه الهندسة و غيرها من المثلثات المشهورة. Abstract In this study, we studied one of non-Euclidean geometry “Riemannian geometry” with its applications, the basic of Riemannian geometry is the no parallel assumption. We illustrated the difference between Riemannian geometry and Euclid’s geometry by some outcomes and results; we also discussed methods of solution of any spherical triangle. Also, we studied some methods of solving general spherical triangles; we used this methods of solving the terrestrial triangle, which one of the main applications of spherical trigonometry pertains to marine, and air navigation over large areas.
سعاد محمد انجاح (2010)

في هذه الرسالة، ندرس حل معادلة لابلاس في بعض الإحداثيات المنحية مع بعض تطبيقاتهم. أولا سنقوم بالتركيز على نظام الإحداثيات المنحنية وعلى إيجاد معامل القياس الذي يعتبر مهم في كتابة معادلة لابلاس لآي نظام إحداثي منحني. تم تناولنا الإحداثيات الاسطوانية والكروية وحل معادلة لابلاس في هذه الإحداثيات بالإضافة إلى تطبيق ديرشليت لنطاق محدود ب (اسطوانة أو كرة). تم اتجهنا إلى حل معادلة لابلاس في نظام الإحداثيات الحلقية حيث درست باستفاضة، بالإضافة إلى الإحداثيات ذو القطبين وعلاقتها بالإحداثيات الحلقية، ومسالة ديريشليت الداخلية والخارجية. Abstract In this thesis, we study the solution of Laplace's equation in some curvilinear coordinates systems with some applications. We will concentrate first on curvilinear coordinates and find scale factor which is important in writing the Laplace's equation for any curvilinear coordinate system. And we presented the (cylindrical, spherical) coordinates system and the solution of Laplace's equation in these coordinates, as well as Dirichlet application with closed domain (cylinder, sphere). Finally, solutions of Laplace's equation in toroidal coordinates system were studied in details, also we studied the bipolar coordinates system, and its relation with toroidal coordinates, as well as Dirichlet problem for a domain bounded by a toroidal surface
صالحة ونيس بحور (2015)